「住所のほう」「商品のほう」「支払いのほう」…など、何でも「ほう」をつける言いかたをよく耳にします。
物事を断定せずに曖昧に表現することで、丁寧さをあらわそうとしていると考えられていますが、実は、それが丁寧につながるとはかぎりません。
このような断定を避ける表現は「ぼかし言葉」とも呼ばれ、ビジネスでの会話ではあまり適切とはいえません。

クイズでAを選んだ人は、「お名前を」とストレートに言うよりも、「お名前のほうを」とワンクッションおくことで何となく丁寧に感じたのかもしれません。
しかし、本来の「ほう」のつかいかたで考えると、「○○と△△があるうちの、○○の方を教えてください」…といった意味になってしまうのです。
ここではそういう場面ではありませんね。

「お名前を」とストレートにお伝えするのは、相手にもはっきりわかりやすく、失礼にはなりません。（「いただけますでしょうか」で十分丁寧さは伝わります）
かえって、日本語としては不要な「ほう」を多用することでお客さまに不快感を与えてしまう場合があるので、注意が必要です。